小学数学中，有许多经典的应用题。

以下是鸡兔同笼问题、方阵问题、牛吃草问题的解析，希望能对你有所帮助。

鸡兔同笼

含义

这是古典的算术问题。

已知笼子里鸡、兔共有的头和脚的数量，求鸡、兔各有多少只。这种问题被称作 鸡兔同笼问题。

已知鸡、兔的总数，以及鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各有多少只。这种问题被称作第二鸡兔同笼问题。

/数量关系/

鸡兔同笼问题

假设全都是鸡，则兔数=（实际脚数-2×鸡兔总数）÷（4-2）

假设全都是兔，则鸡数=（4×鸡兔总数-实际脚数）÷（4-2）

第二鸡兔同笼问题

假设全是鸡，则兔数=（2×鸡兔总数-鸡与兔的脚之差）÷（4+2）

假设全是兔，则鸡数=（4×鸡兔总数+鸡与兔的脚之差）÷（4+2）

/解题思路和方法/

这类问题也称置换问题。解此类题目，一般用假设法。先通过假设，再置换，使问题得到解决。

可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔：

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；

如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

例1

鸡和兔在一个笼子里，共有35个头，94只脚，那么鸡有多少只，兔有多少只？

答：

假设笼子里全部都是鸡，每只鸡有2只脚，应该有35×2=70（只）脚。

而实际有94只脚。这时，要用兔子替换鸡，补上这多出来的脚。

每只兔子比鸡多2只脚，一共多94-70=24（只）脚。

则，兔子有24÷（4-2）=12（只），鸡有35-12=23（只）。

例2

动物园里有鸵鸟和长颈鹿共70只，其中鸵鸟的脚比长颈鹿多80只，那鸵鸟有多少只，长颈鹿有多少只？

答：

假设全部都是鸵鸟，则一共有70×2=（只）脚。

此时长颈鹿的脚数是0，鸵鸟脚比长颈鹿脚多只。但题目里说，鸵鸟的脚只比长颈鹿多80只。

因此鸵鸟脚与长颈鹿脚的差数，多了-80=60（只），这是因为我们将其中的长颈鹿，通过假设换成了鸵鸟。

一只长颈鹿换成鸵鸟，鸵鸟的脚数会增加2只，而长颈鹿的脚数会减少4只，因此，鸵鸟脚数与长颈鹿脚数的差，就增加了6只。

综上所述，换成鸵鸟的长颈鹿有60÷6=10（只），鸵鸟有70-10=60（只）。

例3

李阿姨的农场里养了一批鸡和兔，共有条腿，如果鸡数和兔数互换，就共有腿条。鸡和兔一共有多少只？

答：

根据题意可得：前后鸡的总只数=前后兔的总只数。

将1只鸡和1只兔子分为一组，共有6条腿。

前后鸡和兔的总腿数有+=（只）

所以共有÷6=50（组），也就是鸡和兔的总只数是50只。

例4

一次数学考试，只有20道题。做对一题加5分，做错一题倒扣3分，不做算错，也扣3分。乐乐这次考试得了84分，那么乐乐做对了多少道题？

答：

如果20题全部做对，应该得20×5=（分）。而乐乐实际得84分，少了-84=16（分）。

做错一题和做对一题，之间相差5+3=8（分）。少了16分，也就是做错了16÷8=2（题）。

一共20题，所以乐乐做对了20-2=18（题）。

方阵问题

含义

将若干人或物，按一定条件排成正方形，简称方阵。

根据已知条件，求总人数或总物数，这类问题就是方阵问题。

/数量关系/

1.方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数-1）×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

2.方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝外每边的人数平方-内每边的人

数平方内每边人数＝外每边人数-层数×2

3.若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数-层数）×层数×4

/解题思路和方法/

方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数字乘；空心方阵变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1

佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？

解题思路：

1.要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人。

2.一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉两条边上的人数。

其中，顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始时，每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=（人）。

例2

欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚。欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？

解题思路：

1.本题考查空心方阵。要根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2.方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数；知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

解法1：

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），

第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），

第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），

所以，摆这个方阵共用了60+52+44=（枚）棋子。

解法2:

若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，总棋数＝（每边棋数-层数）×层数×4。

所以，摆这个方阵用了（16-3）×3×4=（枚）围棋子。

例3

一个实心方阵由81人组成，这个方阵的最外层有多少人？

答：

方阵的行数和列数相同，9×9=81，得出这是一个9行9列的方阵。

最外层人数与一边人数的关系=一边人数×4-4=一层人数。

所以最外层的人数是9×4-4=32（人）。

例4

明明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23枚棋子，排成了一个新方阵。他又将这个新方阵改排成一个4层的空心阵，这个方阵最外层每边有多少枚棋子？

解题思路：

1.根据题意，排成的这个新方阵的每边棋子数是（23+1）÷2=12（枚）,

那么，这个实心方阵的棋子总数是12×12=（枚）。

2.空心方阵中，相邻的两层的棋子数相差8。可以从这里找出等量关系，列方程解决。

答：

设最外层有x个棋子，

则从外到内每层的棋子数分别是（x-8）枚、（x-16）枚、（x-24）枚。

x+x-8+x-16+x-24=，解得x=48。

所以，这个方阵最外层每边有48÷4+1=13（枚）棋子。

牛吃草问题

含义

牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。

这类问题的特点在于，要将草边长边吃的因素考虑进去。

/基本公式/

1.草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）

2.原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数

3.吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）

4.牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

这四个公式，是解决牛顿问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草不断生长，所以解决消长问题的重点，是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的。新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

/数量关系/

1.草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

2.牛吃草的基本公式：y=（N-x）×T

y代表原有变量，

N代表促使原有存量减少的变量

x代表存量的自然增长速度

T代表存量完全消失所耗用的时间

/解题思路和方法/

牛吃草问题，和数量关系有关。解这类题的关键，在于要求出草每天的生长量。

解析：

草地上的草如果不长，牛的数量和牛吃草的速度恒定，那么牛吃草问题，就是个简单的工程问题。即：草的存量=牛吃草的速度×时间

但牛吃草的同时，草也在长。多了个增量，也就更复杂。

牛吃草的速度，比草长的速度快，两者相差，就是草的净消耗效率。牛越少，净消耗效率越低，吃的时间越长，草的总量（原有草量+生长草量）就越多。

虽然有多个变量，但牛吃草问题，本质上仍是工程问题，草的存量=草的净消耗效率×时间。

例1

这是一片新鲜的牧场，现有份草，每天都均匀地生长6份草。若一开始放26头奶牛，每头奶牛每天吃1份草。这片牧场的草够奶牛吃多少天？

解题思路：

1.本题考查的是牛吃草问题。

解决本题的关键是，求出每天新增加的草量。

在所求的问题中，可以让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由题目可知：原有的草量+新长的草量=总的草量。

答：

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新长的草。

原有的草量是不变的，每天新长的草量是匀速的，每天都长6份，每头奶牛每天吃1份，新长的草刚好够6头奶牛吃的量。

那么剩下的20头奶牛，吃的就是原有的草，每天吃20份，÷20=20（天）。

所以，这片牧场的草够奶牛吃20天。

例2

一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

答：

设每台抽水机每天可抽1份水。

5台抽水机20天抽水：5×20=（份）

6台抽水机15天抽水：6×15=90（份）

每天入库的水量：（-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：-20×2=60（份）

需抽水机台数：（60+6×2）÷6=12（台）

若要求6天抽干，需要12台同样的抽水机。

例3

某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

解题思路：

1.本题考查的是牛吃草的问题。“旅客”相当于“草”，检票口相当于“牛”。

2.由题目可知，旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

答：

设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

4个检票口花30分钟，共检票4×30=（份）；5个检票口花20分钟，共检票5×20=（份）。

5个检票口，比4个检票口多花10分钟，共多检了-=20（份）票。

每分钟新增顾客数量是：20÷10=2（份）。

原有顾客总量为：-30×2=60（份）。

若同时打开7个检票口，可以让2个检票口专门通过新来的顾客，其余的5个检票口通过原来的顾客。

这样，需要60÷5=12（分钟）。

声明：图文综合来源于网络，若有来源标注错误或侵犯了您的合法权益，请及时与我们联系更正或删除相关内容。

好文推荐

高考作文预热

12大热点金题和作文素材，考生必看！

这样回归课本，考试至少多“捡”50分！

掌握这12个万能人物素材，拿下作文半壁江山！

作文技巧

小学语文作文知识点大全，别人家的家长已经给孩子收藏啦！（附各类范文）