人生之难，难于放下情绪；人生之贵，贵在拾起平和。唯有理智和冷静,才是解决问题的关键。一位具有27年飞行经验的美国驾驶员在接受采访时，向世人介绍了他的飞行史中最不寻常的经历。

第二次世界大战时，。一天，他们接到战斗命令，从航空母舰上起飞后来到东京湾。他按要求把飞机升到距离海面米的高度做俯冲轰炸。或许在今天来看，米根本不算什么，但在当时，这算得上很低的飞行高度。正当他以极快的速度接近目标的时候，他的飞机的左翼突然被击中，整架飞机翻了过来。

人在飞机上，最害怕的就是失去平衡感。飞机中弹后，他需要第一时间判断他的位置，以决定如何操纵自己的飞机。

但是，在那最初的一瞬间、在千钧一发的关头，他没有贸然采取任何行动，只是强迫自己冷静、理智，绝不能激动。

于是，他看见了头顶上蓝色的海面，确定了自己的位置，知道飞机翻转了。这时，他马上推动操纵杆，把他倒扣的飞机调整了过来。假如他贸然根据本能慌乱地操作，那么，他肯定会误把大海当作蓝天，一个猛子扎进去大海，因为高度只有米。

回忆完了这次经历，这位老飞行员语重心长地对记者说道：“是我的冷静救了我自己。”

万物都不停地变化着，难免会发生突发事件，老飞行员能从冷静中挽回性命，正是依靠成熟的心智、理性的智慧。

古人云：事急则缓，事缓则圆。遇到事情，即使再着急也要先让自己冷静下来，理清头绪，再做事。

理智行动、冷静做事，能够让我们化险为夷，更能助我们避过人生道路上的那些沟沟坎坎，推动我们更快地获取成功。

对于求解几何问题也如此，面对不知道如何求解的问题，冷静地分析问题已知与结论，找出合理的应对措施才是关键。

平移问题是指在同一个平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个方向移动一定的距离，平移由平移的方向和距离决定，平移前后图形的形状、大小不变，平移前后图形的对应点所连的线段相等且平行（或共线）；平移前后图形的对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。

平移变换的技巧提炼：

（1）常见的构造平移的方式；构造平行线平移线段，构造平移三角形。

构造平行四边形或者等腰三角形一平移图形。

（2）几何图形平移时，一般先确定平移后的位置，过点构造平行线，再截取线段长度相等。

（3）常见平移图形为平行四边形。

（4）平面直角坐标系中图形的平移：确定平移方向和距离。

平移图形的对应顶点，再依次连接即可.

（5）平移在图形面积、图形切割和拼凑中应用较为广泛，

（6）平移法在应用时有三种情况：平移条件：把条件中的某条线段或角平移；平移结论：把结论中的线段或角平移；同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移。

典型问题

例1．（春?介休市期中）在下列现象中，属于平移的是（ 　　）

A．荡秋千B．月亮绕地球运动

C．红旗的飘动D．黑板的左右移动

根据平移的定义，逐一判断即可．

A、荡秋千，属于旋转，故A不符合题意；

B、月亮绕地球运动，不属于平移，故B不符合题意；

C、红旗的飘动，不属于平移，故C不符合题意；

D、黑板的左右移动，属于平移，故D符合题意；

故选：D．

变式1．（春?萧山区期中）在如图所示的四个汽车标识图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（ 　　）

根据平移的性质可得答案．根据平移变换的性质可知，D可以通过平移得出，故选：D．

例2．（春?海淀区校级期中）如图，将三角形ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到三角形MNL，则下列结论：①AM∥BN；②AM＝BN；③BC＝ML；④∠ACB＝∠MNL，其中正确的有（ 　　）

根据平移的性质判断即可．

：由平移的性质可知，AM∥BN，AM＝BN，BC＝NL，∠ACB＝∠MLN，

则结论①②正确，③④错误，故选：B．

变式1．（春?涧西区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，把△ABC沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到△DEF，连接AE，AD，有以下结论①AC∥DF；②AD∥BE；③CF＝2.5cm；④DE⊥AC，其中正确的结论有　　．（填序号）

∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到△DEF，

∴由平移的性质得，AC∥DF，AD∥CF，CF＝AD＝2.5cm，故①②③正确；

设AC与DE交于点O，由平移知，AB∥DE，

∵∠BAC＝90°，∴∠COE＝90°，∴DE⊥AC，故④正确．

故答案为：①②③④．

变式2．（春?定州市月考）如图，在三角形ABC中，BC＝6cm，将三角形ABC以每秒1cm的速度沿线段BC所在直线向右平移，所得图形对应为三角形DEF，设平移时间为t秒（t≤6），若在B，E，C三个点中，其中一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，三人的说法如下：

甲：有两种情况，t的值为2或3．

乙：有三种情况，t的值为2或3或4．

丙：有四种情况，t的值为2或3或4或5．

下列判断正确的是（ 　　）

∵三角形ABC以每秒1cm的速度沿线段BC所在直线向右平移，所得图形对应为三角形DEF，∴BE＝CF＝tcm，

当BE＝2CE，即t＝2（6﹣t），解得t＝4；

当CE＝2BE，即6﹣t＝2t，解得t＝2；

当BC＝2BE，即6＝2t，解得t＝3；

综上所述，t的值为2或3或4．故选：B．

变式3．（春?江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（a，﹣3），B（a+3，﹣3），且a＞0，P为y轴上一动点．连接AB，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段CD，则下列结论：①CD＝3；②∠OBA+∠OCD＝∠BOC+°；③若△PCD的面积为6，则P点的坐标为（0，3）或（0，﹣5）；

例3．（春?建邺区校级期中）学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是（ 　　）

根据平移的性质得出修建小路后剩余草坪面积等于矩形的面积﹣小路的面积解答．

：A、B、D三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长﹣小路的宽）×长方形的宽，而C方案的小路的模块比其他三种方案多1个以小路的宽度为边长的正方形的面积，故选：C．

变式1．（春?连城县校级月考）如图是一段楼梯，BC＝2cm，AB＝4cm，若在楼梯上铺地毯至少要（ 　　）

A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm

根据题意，结合图形，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，则AB+BC即为所求．如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝4+2＝6（m）．故选：C．

变式2．（春?滑县期中）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝25米，为方便游人观赏．公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为（ 　　）

A．74米B．98米C．99米D．米

根据平移的性质，可得图中虚线的横向距离等于AB的长50米，纵向距离等于2（BC﹣2×0.5）米，50+（25﹣2×0.5）×2＝50+24×2

＝50+48＝98（米），∴从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为98米，

故选：B．

变式3．（?赣州一模）用10根小棒组成如图1所示的图案，请平移3根小棒变成如图2所示的图案，平移的方式有（ 　　）

A．1种B．2种C．3种D．4种

依据平移前后的两个图形的区别，平移3根木条即可变成如图（2）所示的图案．如图（2）所示：可以平移②④⑥或①⑧⑩．故选：B．

例4．（春?如东县期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A（﹣1，m+2）的对应点为A（2，m﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d）．则a+b﹣c﹣d的值为（ 　　）

A．8+mB．﹣8+mC．2D．﹣2

由A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（3，m﹣3），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．

：∵A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，m﹣3），

∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，

∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），

∴a+3＝c，b﹣5＝d，

∴a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5，

∴a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2，故选：C．

变式1．（?滨江区二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（ 　　）

A．2.5B．5C．10D．15

由于线段AB向右平移5个单位长度，则段AB在平移过程中扫过的图形的平行四边形的底为5，高为2，然后根据平行四边形的面积公式计算即可．

∵A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），线段AB向右平移5个单位长度，∴线段AB在平移过程中扫过的图形的面积＝5×（4﹣2）＝10．

故选C．

变式2．（春?朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，2），将点A向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到点C，则三角形ABC的面积为（ 　　）

A．15B．11C．10D．9

直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，求出点C坐标，再利用割补法求三角形ABC的面积．

例5.已知Rt△ACE中，AB＝CE，BC＝DE，∠ACE＝90°，求∠AFB的度数．

由于题目所给条件比较分散，所以考虑通过平移，将已知线段集中化，从而使问题得以解决.

题目的解法很多，下面提供几种平移的方法供大家参考，之后大家可以尝试其他做法.

思路①：将ED平移至AG（或将BE平移至GD）辅助线做法叙述：作AG/∥DE，且AG=DE，连接GB.

∴△ABG≌△CBE，∴BG＝BE，∠1＝∠3，

∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°，

∴∠GBE＝90°，∴∠BGE＝45°，

∵AD∥GE，∴∠4＝∠BGE＝45°，∴∠AFB＝45°．

思路②：将ED平移至BG（或将BE平移至GD）辅助线做法叙述：作BG/∥DE，且BG=DE，连接GD，GA.

易证阴影部分图形全等，从而△AGD为等腰直角三角形，

∴∠AFB=∠ADG=45°（同位角）.

思路③：将AB平移至GE。

易证阴影部分图形全等，从而△AGD为等腰直角三角形，

∴∠AFB=∠GAD=45°（内错角）.

思路④：将AD平移至BG。

易证阴影部分图形全等，△BEG为等腰直角三角形，

∴∠AFB=∠EBG=45°（内错角）.

当题目中的已知条件并不明显，或者所求所证似乎不够常规时，我们要大胆构造辅助线，比如上题的各种平移办法，都会让大家有一种“柳暗花明”的感觉。其实辅助线就是在一定的知识积累和大胆猜测中产生的，有时候只要你敢做，乐于尝试，答案总会浮现于你眼前。

例6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC=BD,AC与BD的锐夹角为60°.求证:AD+BCAC.

题中的“对角线AC=BD,AC与BD的锐夹角为60°”等已知条件难以直接运用,可通过平移线段AD和AC,把这些已知条件集中到△BDE中去,再解答.

过点C作AD的平行线,过点D作AC的平行线,二者交于点E,连接BE.易得四边形ACED为平行四边形,

∴DE=AC=BD,∠BDE=∠BOC=60°,即△BDE为等边三角形,∴BD=DE=BE.

在△BCE中,CE+BCBE,即AD+BCAC.

变式1.如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.

如图，将△AEC平移到△ABD，设AD与AB的交点为O，

∵AO+OBAB,AO+ODAD,

∴AB+AD=(AO+OB)+(AO+OD)=(AO+OD)+(AO+OB)AD+AB,

∴AB+ACAD+AE.

变式2.已知AB=CD，且AB⊥CD于O，

求证：BC+AD≥

AB.

将CB平移至DE处，则BC=DE，连接BE、AE，

则△ABE为等腰直角三角形，∴.AE=√2AB，∵AD+DEAE，∴BC+AD≥AE，即BC+AD≥√2AB.

变式3．（秋?武昌区月考）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC＞2AD；

（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC＞AD+AE；

（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD＝CE．求证：AB+AC＞AD+AE.

（1）延长AD至点E，使DE＝AD，即AE＝2AD，连接BE，根据SAS证△BDE≌△CDA，得出BE＝AC，由三角形三边关系可知AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD；

（2）由题知E为CD的中点，由（1）知AC+AD＞2AE，又D是BE的中点，由（1）知AB+AE＞2AD，两式相加即可得出结论；

（3）设BC的中点为M，连接AM并延长至N，使AM＝MN，连接BN、DN，根据SAS证△AMC≌△NMB，得出BN＝AC，同理证△AME≌△NBD，得出AE＝DN，延长AD交BN于F，则AB+BF＞AD+DF，且FN+DF＞DN，两式相加即可得AB+BN＞AD+DN，即AB+AC＞AD+AE．

证明线段之间的不等关系，往往通过平移，将相关线段转化至同一个三角形中，利用“三角形两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”来证明。